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矩阵理论概述:线性空间、基、变换、约当标准型、范数、矩阵函数

AlaskaGulf
2024-11-01 / 0 评论 / 0 点赞 / 17 阅读 / 0 字

Chapter1

数域、线性空间

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过渡矩阵

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坐标变换公式

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假设有两组基,还已知该空间中任意元素γ用其中一组基线性表示的坐标,可以通过该公式算出在另一组基下线性表示的坐标

子空间的和、直和

{\displaystyle V_{1},V_{2}\leqslant V},那么我们称

{\displaystyle V_{1}+V_{2}:=\{\alpha _{1}+\alpha _{2}~|~\alpha _{1}\in V_{1},\alpha _{2}\in V_{2}\}\leqslant V}

{\displaystyle V_{1}}{\displaystyle V_{2}}(sum of subspaces),它是{\displaystyle V}的包含{\displaystyle V_{1}}也包含{\displaystyle V_{2}}的最大子空间。子空间的和可以推广到有限的{\displaystyle m}个子空间的和上去。

{\displaystyle V_{1},V_{2}\leqslant V},如果对于任意的{\displaystyle \alpha \in V_{1}+V_{2}}都存在唯一的两个{\displaystyle \alpha _{1}}{\displaystyle \alpha _{2}}使得{\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}},也就是说这样的分解(我们称为直和分解)是唯一的,那么就说和{\displaystyle V_{1}+V_{2}}是直和,记为{\displaystyle V_{1}\oplus V_{2}}

{\displaystyle V_{1},V_{2}\leqslant V},那么下面几个命题是互相等价的:

  1. {\displaystyle V_{1}+V_{2}}是直和。

  2. 存在一个{\displaystyle \alpha _{0}\in V_{1}+V_{2}},使得存在唯一的两个{\displaystyle \alpha _{1}}{\displaystyle \alpha _{2}}使得{\displaystyle \alpha _{0}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}

  3. 零向量若用{\displaystyle V_{1},V_{2}}中各一个向量表示,只能是两个零向量。

  4. {\displaystyle V_{1}\cap V_{2}=\{\theta \}}

  5. \displaystyle \dim V_{1}+\dim V_{2}=\dim(V_{1}+V_{2})

  6. {\displaystyle V_{1}}中的一组基和{\displaystyle V_{2}}中的一组基合起来构成全空间{\displaystyle V}的一组基。

生成子空间的基和维数

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施密斯正交化

设有向量α1,α2...αn,则正交规范化方法为

\begin{aligned} &{\beta_{1}} =\alpha_{1} \\ &\beta_{2} =\alpha_{2}-\frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} \\ &\beta_{3} =\alpha_{3}-\frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}-\frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2} \\ &\beta_{n} =\alpha_{n}-\sum_{i=1}^{n-1}\frac{(\alpha_{n},\beta_{i})}{(\beta_{i},\beta_{i})}\beta_{i} \end{aligned}

线性变换、正交变换

线性变换满足:加法、数乘

正交变换满足:线性变换、变换后保持内积不变,即(Tα,Tβ)=(α,β)

Chapter2

约当块、约当标准型

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行列式因子、不变因子、初等因子

image根据初等因子求出约当块->化为约当标准型

最小多项式

根据Jordan标准型,相同的取最高次幂,不同的都写上

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相似变换矩阵P

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Chapter3

向量范数、矩阵范数、从属范数

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矩阵序列和幂级数的敛散性

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Chapter4

待定系数法求矩阵函数

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