Chapter1

数域、线性空间

基

过渡矩阵

坐标变换公式

假设有两组基，还已知该空间中任意元素 γ 用其中一组基线性表示的坐标，可以通过该公式算出在另一组基下线性表示的坐标

子空间的和、直和

若 $V_{1},V_{2}\leqslant V$ ，那么我们称

V_{1}+V_{2}:=\{\alpha _{1}+\alpha _{2}~|~\alpha _{1}\in V_{1},\alpha _{2}\in V_{2}\}\leqslant V

为 $V_{1}$ 与 $V_{2}$ 的和（sum of subspaces），它是 $V$ 的包含 $V_{1}$ 也包含 $V_{2}$ 的最大子空间。子空间的和可以推广到有限的 $m$ 个子空间的和上去。

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$V_{1},V_{2}\leqslant V$ ，如果对于任意的 $\alpha \in V_{1}+V_{2}$ 都存在唯一的两个 $\alpha _{1}$ 和 $\alpha _{2}$ 使得 $\alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}$ ，也就是说这样的分解（我们称为直和分解）是唯一的，那么就说和 $V_{1}+V_{2}$ 是直和，记为 $V_{1}\oplus V_{2}$ 。

若 $V_{1},V_{2}\leqslant V$ ，那么下面几个命题是互相等价的：

$V_{1}+V_{2}$ 是直和。
存在一个 $\alpha _{0}\in V_{1}+V_{2}$ ，使得存在唯一的两个 $\alpha _{1}$ 和 $\alpha _{2}$ 使得 $\alpha _{0}=\alpha _{1}+\alpha _{2}$ 。
零向量若用 $V_{1},V_{2}$ 中各一个向量表示，只能是两个零向量。
$V_{1}\cap V_{2}=\{\theta \}$ 。
$\displaystyle \dim V_{1}+\dim V_{2}=\dim(V_{1}+V_{2})$ 。
$V_{1}$ 中的一组基和 $V_{2}$ 中的一组基合起来构成全空间 $V$ 的一组基。