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矩阵理论概述:线性空间、基、变换、约当标准型、范数、矩阵函数

AlaskaGulf
2024-11-01 / 0 评论 / 0 点赞 / 16 阅读 / 686 字

Chapter1

数域、线性空间

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过渡矩阵

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坐标变换公式

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假设有两组基,还已知该空间中任意元素 γ 用其中一组基线性表示的坐标,可以通过该公式算出在另一组基下线性表示的坐标

子空间的和、直和

V1,V2V {\displaystyle V_{1},V_{2}\leqslant V},那么我们称

V1+V2:={α1+α2  α1V1,α2V2}V{\displaystyle V_{1}+V_{2}:=\{\alpha _{1}+\alpha _{2}~|~\alpha _{1}\in V_{1},\alpha _{2}\in V_{2}\}\leqslant V}

V1 {\displaystyle V_{1}}V2 {\displaystyle V_{2}}(sum of subspaces),它是V {\displaystyle V} 的包含V1 {\displaystyle V_{1}} 也包含V2 {\displaystyle V_{2}} 的最大子空间。子空间的和可以推广到有限的m {\displaystyle m} 个子空间的和上去。

V1,V2V{\displaystyle V_{1},V_{2}\leqslant V},如果对于任意的αV1+V2 {\displaystyle \alpha \in V_{1}+V_{2}} 都存在唯一的两个α1 {\displaystyle \alpha _{1}}α2 {\displaystyle \alpha _{2}} 使得α=α1+α2 {\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}},也就是说这样的分解(我们称为直和分解)是唯一的,那么就说和V1+V2 {\displaystyle V_{1}+V_{2}} 是直和,记为V1V2 {\displaystyle V_{1}\oplus V_{2}}

V1,V2V {\displaystyle V_{1},V_{2}\leqslant V},那么下面几个命题是互相等价的:

  1. V1+V2{\displaystyle V_{1}+V_{2}} 是直和。

  2. 存在一个α0V1+V2 {\displaystyle \alpha _{0}\in V_{1}+V_{2}},使得存在唯一的两个α1 {\displaystyle \alpha _{1}}α2 {\displaystyle \alpha _{2}} 使得α0=α1+α2 {\displaystyle \alpha _{0}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}

  3. 零向量若用V1,V2 {\displaystyle V_{1},V_{2}} 中各一个向量表示,只能是两个零向量。

  4. V1V2={θ}{\displaystyle V_{1}\cap V_{2}=\{\theta \}}

  5. dimV1+dimV2=dim(V1+V2)\displaystyle \dim V_{1}+\dim V_{2}=\dim(V_{1}+V_{2})

  6. V1{\displaystyle V_{1}} 中的一组基和V2 {\displaystyle V_{2}} 中的一组基合起来构成全空间V {\displaystyle V} 的一组基。

生成子空间的基和维数

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施密斯正交化

设有向量 α1,α2...αn,则正交规范化方法为

β1=α1β2=α2(α2,β1)(β1,β1)β1β3=α3(α3,β1)(β1,β1)β1(α3,β2)(β2,β2)β2βn=αni=1n1(αn,βi)(βi,βi)βi\begin{aligned} &{\beta_{1}} =\alpha_{1} \\ &\beta_{2} =\alpha_{2}-\frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} \\ &\beta_{3} =\alpha_{3}-\frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}-\frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2} \\ &\beta_{n} =\alpha_{n}-\sum_{i=1}^{n-1}\frac{(\alpha_{n},\beta_{i})}{(\beta_{i},\beta_{i})}\beta_{i} \end{aligned}

线性变换、正交变换

线性变换满足:加法、数乘

正交变换满足:线性变换、变换后保持内积不变,即 (Tα,Tβ)=(α,β)

Chapter2

约当块、约当标准型

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行列式因子、不变因子、初等因子

image根据初等因子求出约当块 -> 化为约当标准型

最小多项式

根据 Jordan 标准型,相同的取最高次幂,不同的都写上

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相似变换矩阵 P

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Chapter3

向量范数、矩阵范数、从属范数

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矩阵序列和幂级数的敛散性

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Chapter4

待定系数法求矩阵函数

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