Chapter1
数域、线性空间

基
过渡矩阵
坐标变换公式
假设有两组基,还已知该空间中任意元素 γ 用其中一组基线性表示的坐标,可以通过该公式算出在另一组基下线性表示的坐标
子空间的和、直和
若V1,V2⩽V,那么我们称
V1+V2:={α1+α2 ∣ α1∈V1,α2∈V2}⩽V 为V1 与V2 的和(sum of subspaces),它是V 的包含V1 也包含V2 的最大子空间。子空间的和可以推广到有限的m 个子空间的和上去。
V1,V2⩽V,如果对于任意的α∈V1+V2 都存在唯一的两个α1 和α2 使得α=α1+α2,也就是说这样的分解(我们称为直和分解)是唯一的,那么就说和V1+V2 是直和,记为V1⊕V2。
若V1,V2⩽V,那么下面几个命题是互相等价的:
V1+V2 是直和。
存在一个α0∈V1+V2,使得存在唯一的两个α1 和α2 使得α0=α1+α2。
零向量若用V1,V2 中各一个向量表示,只能是两个零向量。
V1∩V2={θ}。
dimV1+dimV2=dim(V1+V2)。
V1 中的一组基和V2 中的一组基合起来构成全空间V 的一组基。
生成子空间的基和维数
施密斯正交化
设有向量 α1,α2...αn,则正交规范化方法为
β1=α1β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1β3=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1−(β2,β2)(α3,β2)β2βn=αn−i=1∑n−1(βi,βi)(αn,βi)βi 线性变换、正交变换
线性变换满足:加法、数乘
正交变换满足:线性变换、变换后保持内积不变,即 (Tα,Tβ)=(α,β)
Chapter2
约当块、约当标准型
行列式因子、不变因子、初等因子
根据初等因子求出约当块 -> 化为约当标准型
最小多项式
根据 Jordan 标准型,相同的取最高次幂,不同的都写上
相似变换矩阵 P
Chapter3
向量范数、矩阵范数、从属范数
矩阵序列和幂级数的敛散性
Chapter4
待定系数法求矩阵函数
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