Chapter1
数域、线性空间
基
过渡矩阵
坐标变换公式
假设有两组基,还已知该空间中任意元素γ用其中一组基线性表示的坐标,可以通过该公式算出在另一组基下线性表示的坐标
子空间的和、直和
若{\displaystyle V_{1},V_{2}\leqslant V},那么我们称
为{\displaystyle V_{1}}与{\displaystyle V_{2}}的和(sum of subspaces),它是{\displaystyle V}的包含{\displaystyle V_{1}}也包含{\displaystyle V_{2}}的最大子空间。子空间的和可以推广到有限的{\displaystyle m}个子空间的和上去。
{\displaystyle V_{1},V_{2}\leqslant V},如果对于任意的{\displaystyle \alpha \in V_{1}+V_{2}}都存在唯一的两个{\displaystyle \alpha _{1}}和{\displaystyle \alpha _{2}}使得{\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}},也就是说这样的分解(我们称为直和分解)是唯一的,那么就说和{\displaystyle V_{1}+V_{2}}是直和,记为{\displaystyle V_{1}\oplus V_{2}}。
若{\displaystyle V_{1},V_{2}\leqslant V},那么下面几个命题是互相等价的:
{\displaystyle V_{1}+V_{2}}是直和。
存在一个{\displaystyle \alpha _{0}\in V_{1}+V_{2}},使得存在唯一的两个{\displaystyle \alpha _{1}}和{\displaystyle \alpha _{2}}使得{\displaystyle \alpha _{0}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}。
零向量若用{\displaystyle V_{1},V_{2}}中各一个向量表示,只能是两个零向量。
{\displaystyle V_{1}\cap V_{2}=\{\theta \}}。
\displaystyle \dim V_{1}+\dim V_{2}=\dim(V_{1}+V_{2})。
{\displaystyle V_{1}}中的一组基和{\displaystyle V_{2}}中的一组基合起来构成全空间{\displaystyle V}的一组基。
生成子空间的基和维数
施密斯正交化
设有向量α1,α2...αn,则正交规范化方法为
线性变换、正交变换
线性变换满足:加法、数乘
正交变换满足:线性变换、变换后保持内积不变,即(Tα,Tβ)=(α,β)
Chapter2
约当块、约当标准型
行列式因子、不变因子、初等因子
根据初等因子求出约当块->化为约当标准型
最小多项式
根据Jordan标准型,相同的取最高次幂,不同的都写上
相似变换矩阵P
Chapter3
向量范数、矩阵范数、从属范数
矩阵序列和幂级数的敛散性
Chapter4
待定系数法求矩阵函数
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