Chapter1

数域、线性空间

基

过渡矩阵

坐标变换公式

假设有两组基，还已知该空间中任意元素γ用其中一组基线性表示的坐标，可以通过该公式算出在另一组基下线性表示的坐标

子空间的和、直和

若{\displaystyle V_{1},V_{2}\leqslant V}，那么我们称

{\displaystyle V_{1}+V_{2}:=\{\alpha _{1}+\alpha _{2}~|~\alpha _{1}\in V_{1},\alpha _{2}\in V_{2}\}\leqslant V}

为{\displaystyle V_{1}}与{\displaystyle V_{2}}的和（sum of subspaces），它是{\displaystyle V}的包含{\displaystyle V_{1}}也包含{\displaystyle V_{2}}的最大子空间。子空间的和可以推广到有限的{\displaystyle m}个子空间的和上去。

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{\displaystyle V_{1},V_{2}\leqslant V}，如果对于任意的{\displaystyle \alpha \in V_{1}+V_{2}}都存在唯一的两个{\displaystyle \alpha _{1}}和{\displaystyle \alpha _{2}}使得{\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}}，也就是说这样的分解（我们称为直和分解）是唯一的，那么就说和{\displaystyle V_{1}+V_{2}}是直和，记为{\displaystyle V_{1}\oplus V_{2}}。

若{\displaystyle V_{1},V_{2}\leqslant V}，那么下面几个命题是互相等价的：

{\displaystyle V_{1}+V_{2}}是直和。
存在一个{\displaystyle \alpha _{0}\in V_{1}+V_{2}}，使得存在唯一的两个{\displaystyle \alpha _{1}}和{\displaystyle \alpha _{2}}使得{\displaystyle \alpha _{0}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}。
零向量若用{\displaystyle V_{1},V_{2}}中各一个向量表示，只能是两个零向量。
{\displaystyle V_{1}\cap V_{2}=\{\theta \}}。
\displaystyle \dim V_{1}+\dim V_{2}=\dim(V_{1}+V_{2})。
{\displaystyle V_{1}}中的一组基和{\displaystyle V_{2}}中的一组基合起来构成全空间{\displaystyle V}的一组基。

生成子空间的基和维数

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施密斯正交化

设有向量α1,α2...αn，则正交规范化方法为

\begin{aligned} &{\beta_{1}} =\alpha_{1} \\ &\beta_{2} =\alpha_{2}-\frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} \\ &\beta_{3} =\alpha_{3}-\frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}-\frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2} \\ &\beta_{n} =\alpha_{n}-\sum_{i=1}^{n-1}\frac{(\alpha_{n},\beta_{i})}{(\beta_{i},\beta_{i})}\beta_{i} \end{aligned}